（2012?朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（
（2012?朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过...
（2012?朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
则：OC=
=4，
∴C（4，0）．
（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴抛物线的解析式：y=-
（x+1）（x-4）=-
x2+
x+2，对称轴是：直线x=
．
（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
4k+2=0，k=-
∴直线AC：y=-
x+2；
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-
m2+
m+2）、
∴S梯形AOHP=
[2+（-
m2+
m+2）]m=-
m3+
m2+2m，
S△PHC=
（4-m）（-
m2+
m+2）=
m3-
m2+2m+4，
S△AOC=
×4×2=4，
S=S梯形AOHP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4，
∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．
（4）依题意，设M（
，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：
MP2=b2-6b+
、MC2=b2+
、PC2=13；
当MP=MC时，b2-6b+
=b2+
则：OC=
| OA2 |
| OB |
∴C（4，0）．
（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-
| 1 |
| 2 |
∴抛物线的解析式：y=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
4k+2=0，k=-
| 1 |
| 2 |
∴直线AC：y=-
| 1 |
| 2 |
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴S梯形AOHP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
S△PHC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
S△AOC=
| 1 |
| 2 |
S=S梯形AOHP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4，
∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．
（4）依题意，设M（
| 3 |
| 2 |
MP2=b2-6b+
| 37 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
当MP=MC时，b2-6b+
| 37 |
| 4 |
| 25 |
