(2008?鄂尔多斯)如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE.(1)四边形ACE
(2008?鄂尔多斯)如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE.(1)四边形ACED是什么图形?说明理由;(2)若AB=4cm,A...
(2008?鄂尔多斯)如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE.(1)四边形ACED是什么图形?说明理由;(2)若AB=4cm,AD=3cm,求DE的长.
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解:解法一:
(1)四边形ACED是等腰梯形(1分)
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°,DC=AB,
∴△ADC≌△CBA(SAS),
由折叠可知:△ACE≌△ACB,
∴△ACE≌△ACB≌△CAD;
∴∠1=∠2,AD=CE,CD=AE(1分)
∴OA=OC,
∴OE=OD,
∴∠3=∠4(1分)
而∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠3=∠2,
∴DE∥AC;
∵在Rt△ACE中,∠1+∠ACE=90°;
在Rt△ACD中,∠2+∠DAC=90°,
∴∠DAC+∠ACE<180°,
∴CE与AD不平行;
∴四边形ACED是等腰梯形;(1分)
(2)在Rt△OEC中,设EO=x,则x2+32=(4-x)2(1分)
∴x=
,(1分)
由△ODE∽△OCA,得
=
,(1分)
∴DE=
cm.(1分)
解法二:
(1)四边形ACED是等腰梯形
证明:过点D、E作AC的垂线,垂足分别是G、H,则DG∥EH;
∵△ACE≌△ACB≌△CAD,
∴∠ECA=∠DAC,AD=CE;
∴Rt△ADG≌Rt△CEH,
∴DG=EH,
∴四边形DGHE是矩形,
∴DE
GH,
∴DE≠AC,
∴四边形ACED是等腰梯形;
(2)∵DC=AB=4cm,AD=3cm,∴AC=5cm,
在Rt△ADC中,∵DG?AC=AD?DC,即5DG=3×4,
∴DG=
;
∴AG=
=
=
,
∴DE=GH=AC-2AG=5-2×
=
cm.
解法三:(延长AD,CE相交于点P,利用全等,勾股定理,相似等解答,类似于解法一,略)
(1)四边形ACED是等腰梯形(1分)
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°,DC=AB,
∴△ADC≌△CBA(SAS),
由折叠可知:△ACE≌△ACB,
∴△ACE≌△ACB≌△CAD;
∴∠1=∠2,AD=CE,CD=AE(1分)
∴OA=OC,
∴OE=OD,
∴∠3=∠4(1分)
而∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠3=∠2,
∴DE∥AC;
∵在Rt△ACE中,∠1+∠ACE=90°;
在Rt△ACD中,∠2+∠DAC=90°,
∴∠DAC+∠ACE<180°,
∴CE与AD不平行;
∴四边形ACED是等腰梯形;(1分)
(2)在Rt△OEC中,设EO=x,则x2+32=(4-x)2(1分)
∴x=
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由△ODE∽△OCA,得
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DE | ||
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∴DE=
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解法二:
(1)四边形ACED是等腰梯形
证明:过点D、E作AC的垂线,垂足分别是G、H,则DG∥EH;
∵△ACE≌△ACB≌△CAD,
∴∠ECA=∠DAC,AD=CE;
∴Rt△ADG≌Rt△CEH,
∴DG=EH,
∴四边形DGHE是矩形,
∴DE
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∴DE≠AC,
∴四边形ACED是等腰梯形;
(2)∵DC=AB=4cm,AD=3cm,∴AC=5cm,
在Rt△ADC中,∵DG?AC=AD?DC,即5DG=3×4,
∴DG=
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∴AG=
AD2?DG2 |
32?(
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∴DE=GH=AC-2AG=5-2×
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解法三:(延长AD,CE相交于点P,利用全等,勾股定理,相似等解答,类似于解法一,略)
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