Question

已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相

已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．（1）如图1，当∠ABC=3∠ACB时，求证：AB=AE；（2）如图2，当∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1是点D关于直线AC的对称点，试探究AG和MD1之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接BF，如图1．
设∠ACB=x，则∠ABC=3x，
∵FD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=x，
∴∠ABF=∠AFB=2x，
∴AB=AF，∠PAC=4x．
∵AE平分∠PAC，
∴∠EAC=2x．
∵∠AFE=∠DFC=90°-x，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2x-（90°-x）=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB=AE．

（2）AG=MD₁．
证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，
连接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．
∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，
∴EG=EN，∠EGA=∠ENA=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°，
∴四边形EGAN是矩形．
∵EG=EN，∴矩形EGAN是正方形，
∴AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．
∵ED垂直平分BC，∴EB=EC．
在Rt△BEG和Rt△CEN中，

EB＝EC EG＝EN

，
∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），
∴∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
∴∠GEN=∠BEC=90°
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°．
∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，
∴∠ABE=∠ACE=15°．
∵∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=30°．
∵点D与点D₁关于AC对称，
∴∠D₁AC=∠DAC=30°，
∴∠MAD₁=45°-30°=15°．
∵DA=DC，DM⊥AC，
∴DM垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴∠CMH=∠AMH=90°-45°=45°，
∴∠AMC=90°，
∴∠ENC=∠AMC=90°．
∵点O为EC中点，
∴ON=OM=OE=OC=

1

2

EC，
∴E、N、C、M四点共圆，
∴∠EMN=∠ECN=15°，
∴∠MAD₁=∠EMN=15°，
在△AMN和△MAD₁中，

∠MAD1＝∠AMN AM＝MA ∠AMD1＝∠MAN＝45°

，
∴△AMN≌△MAD₁，
∴AN=MD₁，
∴AG=MD₁．

Answer 2

（1）证明：连接BF，如图1．
设∠ACB=x，则∠ABC=3x，
∵FD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=x，
∴∠ABF=∠AFB=2x，
∴AB=AF，∠PAC=4x．
∵AE平分∠PAC，
∴∠EAC=2x．
∵∠AFE=∠DFC=90°-x，
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2x-（90°-x）=90°-x，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB=AE．

（2）AG=MD₁．
证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，
连接AD₁、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．
∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，
∴EG=EN，∠EGA=∠ENA=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°，
∴四边形EGAN是矩形．
∵EG=EN，∴矩形EGAN是正方形，
∴AG=AN，∠EAN=45°，∠GEN=90°．
∵ED垂直平分BC，∴EB=EC．
在Rt△BEG和Rt△CEN中，

EB＝EC EG＝EN

，
∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），
∴∠GBE=∠NCE，∠GEB=∠NEC，
∴∠GEN=∠BEC=90°
∵EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°．
∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABC=60°，∠ACB=30°，
∴∠ABE=∠ACE=15°．
∵∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=30°．
∵点D与点D₁关于AC对称，
∴∠D₁AC=∠DAC=30°，
∴∠MAD₁=45°-30°=15°．
∵DA=DC，DM⊥AC，
∴DM垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴∠CMH=∠AMH=90°-45°=45°，
∴∠AMC=90°，
∴∠ENC=∠AMC=90°．
∵点O为EC中点，
∴ON=OM=OE=OC=

1

2

EC，
∴E、N、C、M四点共圆，
∴∠EMN=∠ECN=15°，
∴∠MAD₁=∠EMN=15°，
在△AMN和△MAD₁中，

∠MAD1＝∠AMN AM＝MA ∠AMD1＝∠MAN＝45°

，
∴△AMN≌△MAD₁，
∴AN=MD₁，
∴AG=MD₁．