Question

已知二次函数f（x）=x2+mx+1（m∈Z），且关于x的方程f（x）=2在(?3，12)上有两个不相等的实数根．（1）求

已知二次函数f（x）=x2+mx+1（m∈Z），且关于x的方程f（x）=2在(?3，12)上有两个不相等的实数根．（1）求f（x）的解析式．（2）若x∈[2，t]总有f（x-5）≤2x成立，求t的最大值．

Answer 1

（1）由f（x）=2在(?3，

1

2

)上有两个不相等的实数根，即g（x）=f（x）-2=x²+mx-1=0在(?3，

1

2

)上有两个不相等的实数根，
∴

g(?3)＞0 g( 1 2 )＞0 ?3＜? m 2 ＜ 1 2

，
∴

3

2

＜m＜

8

3

  (m∈Z)，∴m=2
从而f（x）=x²+2x+1…（7分）
（2）由 f（x-5）≤2x，得x²-10x+16≤0，
∴2≤x≤8
而当x∈[2，t]总有f（x-5）≤2x成立，t_max=8…（14分）