Question

如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，?ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x

如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，?ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD=OD：OA=

3

，
∴∠A=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°；

（2）①证明：∵A（-2，0），D（0，2

3

），且E是AD的中点，
∴E（-1，

3

），AE=DE=2，OE=OA=2，
∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；
根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，
∴∠OF′E=∠DEH；
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，
∴∠DGE=∠DEH，
又∵∠GDE=∠EDH，
∴△DGE∽△DEH．

②过点E作EM⊥直线CD于点M，
∵CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DE?sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵S_△EGH=

1

2

?GH?ME=

1

2

?GH?

3

=3

3

，
∴GH=6；
∵△DHE∽△DEG，
∴

DE

DG

=

DH

DE

即DE²=DG?DH，
当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，
∴4=x（x+6），
解得：x₁=-3+

13

，x₂=-3-

13

（舍），
∴点F的坐标为（1-

13

，0）；
当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x-6，
∴4=x（x-6），
解得：x₁=3+

13

，x₂=3-

13

（舍），
∵△DEG≌△AEF，
∴AF=DG=3+

13

，
∵OF=AO+AF=3+

13

+2=

13

+5，
∴点F的坐标为（-

13

-5，0），
综上可知，点F的坐标有两个，分别是F₁（1-

13

，0），F₂（-

13

-5，0）．