Question

问: 已知函数fx＝e∧x－ax（a为常数）的图像与y轴交于点A,曲线y＝fx在点A处的切线斜率为

问: 已知函数fx＝e∧x－ax（a为常数）的图像与y轴交于点A,曲线y＝fx在点A处的切线斜率为－1
1,求a的值及函数fx的极值
2,证明 当x＞0时,x∧2＜e∧x
3,证明 对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,正无穷)时,恒有x∧2＜ce∧x

第三问怎么做，要用到第二问的。

Answer 1

f(x)＝e^x－ax的图像与y轴交于A(0，1),
f'(x)=e^x-a,
1.f'(0)=1-a=-1,a=2,
由f'(x)=0得x=ln2,
f(x)的极小值=f(ln2)=2-2ln2.
2.设g(x)=e^x-x^2(x>0),则
g'(x)=e^x-2x=f(x)>0,
∴g(x)是增函数，g(x)>g(0)=1>0,
∴x>0时x^2<e^2.
3.设h(x)=ce^x-x^2(c>0)的零点x1为正数，取x0=max{2,x1},则x>x0时x0^2>2x0,
h'(x)=ce^x-2x>0,
h(x)是增函数，
∴h(x)>h(x0)>=0,
∴x^2<ce^x.

追问

第三问怎么回事，那个什么max还没学。有其他方法吗

追答

max{2,x1}是2与x1中的较大者。

Answer 2

学过极限就简单。