Question

若a1,a2,a3是ax=b(b≠0)的线性无关解，证明a2-a1,a3-a1是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解

若a1,a2,a3是ax=b(b≠0)的线性无关解证明a2-a1,a3-a1是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解

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Answer 1

证明： 首先，证明(a2-a1)与(a3-a1)为Ax=0的解
因为，a1，a2，a3为Ax=b的解，故有
A*a1=b, A*a2=b, A*a3=b
A*(a2-a1)=b-b=0
A*(a3-a1)=b-b=0
故(a2-a1)与(a3-a1)为Ax=0的解
第二，证明(a2-a1)与(a3-a1)线性无关
设有常数k1与k2使得： k1*(a2-a1)+k2*(a3-a1)=0
展开上式，并整理得： -(k1+k2)*a1+k1*a2+k2*a3=0
由于a1，a2，a3线性无关，根据定义：
-(k1+k2)=0， k1=0，k2=0
故，k1=0，k2=0
即，只有当 k1与k2全为零时，才有 k1*(a2-a1)+k2*(a3-a1)=0
故 (a2-a1)与(a3-a1)线性无关
综上，a2-a1)与(a3-a1)为Ax=0的线性无关解 （证毕）