Question

设非齐次线性方程组AX=b有3个线性无关的解 a1,a2,a3 则 a2-a1, a3-a1 是导出组 AX=0 的两个线性无关的解。

Answer 1

首先, 非齐次线性方程组的解的差是其导出组的解
所以 a2-a1, a3-a1 是导出组 AX=0 的解.

设 k1(a2-a1)+k2(a3-a1) = 0
则 (-k1-k2)a1+k1a2+k2a3 = 0
因为 a1,a2,a3 线性无关
所以 -k1-k2 = k1=k2 = 0
即有 k1=k2=0
所以 a2-a1, a3-a1 线性无关.

故 a2-a1, a3-a1 是导出组 AX=0 的两个线性无关的解。

另: " 为什么不是a2-a1, a3-a1 ，a2-a3，是对应AX=0的三个相性无关的解？ "
这3个向量线性相关:
- (a1-a2) + (a3-a1) + (a2-a3) = 0

一般情况是: 若 a1,...,as 线性无关, 则 as-a1,as-a2,...,as-as-1 线性无关