Question

双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的两倍，求渐近线方程

Answer 1

您好！

由题意可得：设右焦点（c,0),右焦点为（-a,0)∵丨-a丨+c=2d(d为焦点到渐近线的距离，因为右焦点到左顶点的距离=它到渐近线距离的两倍，所以有上述式子）
∵渐近线方程为y=±b/ax，可设为bx﹣ay=0 则焦点到渐近线的距离为d=丨bc丨/根号下a²+b²
∵根据双曲线定义，a²+b²=c²
∴d=bc/c=b
则a+c=2b
b=1/2(a+c)
4b²=a²+2ac+c² 化简可得：3c²-5a²-2ac=0，接着就是本题的重点了，我们可以把3c²-5a²-2ac=0除以a²，得出含离心率的式子，因为e²= c²/a² 所以3e²-5-2e=0.把这个一元二次方程解出来，可得出e=-1或e=5/3，因为双曲线的离心率＞1，所以把-1舍去，则e=c/a=5/3,接着令c=5,a=3，则b=根号下c²-a²=4，所以a=3,b=4
∴渐近线方程为y=±4/3x 即4x±3y=0为所求！