Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集...

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）． （1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式． （2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围． （3）a如何取值时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1）存在零点，并求出零点．

Answer 1

解：∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴ax2+（b-2）x+c＜0的解集为（-1，2）．…（1分）
∴a＞0，且方程ax2+（b-2）x+c=0的两根为-1和2．
即a-b+2+c=04a+2b-4+c=0，所以b=2-ac=-2a，
所以f（x）=ax2+（2-a）x-2a，（a＞0）…（2分）
（1）∵方程f（x）+3a-0有两个相等的实根，即ax2+（2-a）x+a=0有两个相等的实根
∴△=（2-a）2-4a2=0，即3a2+4a-4=0，
∴a=-2或a=23 …（3分）
∵a＞0，∴a=23，∴f(x)=23x2+43x-43 …（4分）
（2）f（x）=ax2+（2-a）x-2a=a(x+2-a2a)2+-8a2-(2-a)24a
∵a＞0，∴f（x）的最小值为-8a2-(2-a)24a，…（5分）
则-8a2-(2-a)24a≤-3a，
即3a2+4a-4≤0，即-2≤a≤23，…（7分）
∵a＞0，∴0＜a≤23 …（8分）
（3）由y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1），得（a-1）x2+2x-（2a+m）=0 （※）
①当a=1时，方程（※） 有一解x=m2+1，
函数=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=m2+1，…（9分）
②当a≠1时，△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]
方程（※）有一解则△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]=0，令判别式△1=m2+4m-4≥0，
得m≥22-2或m≤-22-2，∵|m|＞1，即m＞1或m＜-1，
i）当m＞1，a=2-m+4m2+4m-44时，（a=2-m-4m2+4m-44（负根舍去）），
函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=11-a．…（10分）
ii） 当m≤-22-2时，a的两根都为正数∴当a=2-m+4m2+4m-44或a=2-m-4m2+4m-44时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=11-a．（11分）
ⅲ） 当-22-2＜m＜-1时，△1=4m2+4m-4＜0，∴△＞0
③方程（※）有二解，所以△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]＞0，
1）若m＞1，△1=4m2+4m-4＞0，a＞2-m+4m2+4m-44时，
（a=2-m-4m2+4m-44（负根舍去）），函数y=f（x）-（x2-ax+m）
有两个零点x1，2=-2±4[2a2+(m-2)a+(1-m)]2(a-1)=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1； …（12分）
2）当m＜-22-2时，△1=4m2+4m-4＞0，a的两根都为正数，
∴当a＞2-m+4m2+4m-44或0＜a＜2-m-4m2+4m-44时，
函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点x1，2=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1．…（13分）
ⅲ） 当-22-2≤m＜-1时，△1=4m2+4m-4≤0，∴△＞0恒成立，
∴a取大于0（a≠1）的任意数，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点x1，2=-1±2a2+(m-2)a+(1-m)a-1 …（14分）