Question

质量为m的物体在粘性液体中由静止开始下落，液体阻力与物体的速度成正比，即f(下标为r)=-βv，β

质量为m的物体在粘性液体中由静止开始下落，液体阻力与物体的速度成正比，即f(下标为r)=-βv，β为常数。液体浮力不计。
⑴写出物体的牛顿第二定律方程式；
⑵求速度随时间t的变化关系;
⑶其最大下落速度为多少?
⑷求任意时刻的位移。

Answer 1

（1）mdv/dt=mg-kv
分离变量：[m/(mg-kv)]dv=dt
积分可得：(m/k)ln(mg-kv)=-t +C 有初始条件：t=0 v=0 解得：C=(m/k)ln(mg)
故 ln(1- kv/mg)=-kt/m 即：v=(mg/k)(1-e^-kt/m)
当t区域无穷大时，e^-kt/m--->0 v----> mg/k 即为 最大速度。
dx/dt=(mg/k)(1-e^-kt/m)----->dx=[(mg/k)(1-e^-kt/m)]dt
积分：x=(mg/k)[t+(m/k)e^-kt/m]+C 初始条件 t=0 x=0解得 C=-m²g/k²
则 x=(mg/k)[t+(m/k)e^-kt/m]-m²g/k²

Answer 2

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