Question

高中数学，三角函数值域问题。

请解析一下最后一行的根据。为什么是：等价于。。。。它是如何推断出来的？去绝对值时，变为分段函数，能解吗。请详细列出步骤，谢谢。

Answer 1

对任意x∈R,存在k∈Z和t∈[0,π/2],使x=kπ+t或x=kπ-t.
则 f(x)=|sinx| +2|cosx|
=|sint| +2|cost|
=sint+2cost,t∈[0,π/2]
得f(x)的值域与g(t)=sint+2cost,t∈[0,π/2]的值域相同.
而t∈[0,π/2]时: g(t)=(√5)sin(t+φ),其中tanφ=2,φ∈(π/3,π/2)
t+φ∈[φ,π/2+φ]
当t+φ=π/2时g(t)有最大值√5
当t+φ=π/2+φ,即t=π/2时g(t)有最小值1
得g(t)的值域是[1,√5]
所以f(x)的值域是[1,√5]

追问

关键是这一步：对任意x∈R,存在k∈Z和t∈[0,π/2],使x=kπ+t或x=kπ-t.
则 f(x)=|sinx| +2|cosx|
=|sint| +2|cost| 这里如何用三角恒等变换得到的？
=sint+2cost,t∈[0,π/2] 这里又如何去掉绝对值符号。请解析，谢谢

Answer 2

可以。主要看它们的图像来分析。

Answer 3

sinx,cosx在【0，90】的值为正，就可以去掉绝对值符号，而在【90,180】cosx为负，但是加了绝对值所以和【0,90】是一样的。