Question

a,b为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条且只能作一条直线l与a,b都垂直 这句话怎

a,b为异面直线,过空间任意一点P,一定能作一条且只能作一条直线l与a,b都垂直 这句话怎么理解

Answer 1

这个是异面直线公垂线的定理，你自己多看一下定理的证明就可以了。
定理
任意两条异面直线有且只有一条公垂线
证明：
（存在性）
设m、n是两条异面直线，过m上一点P作直线a∥n，则m和a确定一个平面α。
过P作直线b⊥α，则b⊥m，b⊥a，b⊥n，且b和m确定一个平面β。
∵m、n异面
∴n不在β内
且n不会与β平行，这是因为如果n∥β，则a∥β或a⊂β
∵P∈β，P∈a
∴a与β不平行
若a⊂β，∵b⊥m，b⊥a，m∩a=P
∴a和m重合，即m∥n，矛盾
∴n与β不平行，即n和β相交
设这个交点为Q，即Q∈β，过Q作直线l⊥m，则l∥b
∴l⊥n，即l同时垂直m、n，且l和m、n交点分别为P、Q
（唯一性）
由存在性的证明可知n和β只有一个交点Q，经过Q点有且只有一条直线l⊥m，因此异面直线的公垂线有且只有一条。