考研高等数学 微分方程 为什么区间要连续,还有为什么一定要包含x=1求解答
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y=-1/(x+c)是微分方程y'=y²的通解,因为其中有含有任意常数c;如果给出初始条件y(1)=-1,即规定x=1时必须y=-1就可求出积分常数c;把(1,-1)代入通解得 -1=-1/(1+c),此时1+c=1,得c=0,于是获得满足初始条件的特解为 y=-1/x.
按一般函数知识可知此函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);但作为微分方程的解,此定义域不合适。因为在微分方程的解的定义域内不能有间断点,且特解必须包含在其定义域内。我们可以很容易的看到:定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)对特解y=-1/x不合适:①有间断点x=0;②初始条件x=1只包含在连续区间(0,+∞)内;因此特解 y=-1/x的定义域只能取为(0,+∞).
至于微分方程的解为什么不能有间断点,是因为在间断点处导数不存在,即在间断点处不可微,也就是在该点处微分方程不能成立,所以在微分方程的解中不能含有间断点。
我不知道是否已把道理说清楚了。
按一般函数知识可知此函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);但作为微分方程的解,此定义域不合适。因为在微分方程的解的定义域内不能有间断点,且特解必须包含在其定义域内。我们可以很容易的看到:定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)对特解y=-1/x不合适:①有间断点x=0;②初始条件x=1只包含在连续区间(0,+∞)内;因此特解 y=-1/x的定义域只能取为(0,+∞).
至于微分方程的解为什么不能有间断点,是因为在间断点处导数不存在,即在间断点处不可微,也就是在该点处微分方程不能成立,所以在微分方程的解中不能含有间断点。
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