这些等价无穷小量怎么证明？
2个回答
展开全部
熟记常用等价无穷小量及其和差。
一般情形，使用洛必达（L\\'Hospital）法则，或者Taylor公式。
举例：x→0时，sinx－x的等价无穷小量？
方法一：设x→0时，sinx－x～Ax^k。A，k待定。由洛必达法则，
x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝lim（cosx－1）/Akx^(k－1)，分子替换为等价无穷小量－1/2×x^2。得
x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝－1/2Ak×lim x^(3－k)。
由此极限等于1，得k＝3，－1/2Ak＝1，A＝－1/6。
所以，x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。
方法二：
sinx在x＝0处的Taylor公式是sinx＝x－1/3!×x^3＋1/5!×x^5+...，所以sinx－x＝－1/6×x^3－1/120×x^5+...＝－1/6×x^3(1+1/20×x^2+...)。
x→0时，括号内的函数趋向于1，所以
x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。
一般情形，使用洛必达（L\\'Hospital）法则，或者Taylor公式。
举例：x→0时，sinx－x的等价无穷小量？
方法一：设x→0时，sinx－x～Ax^k。A，k待定。由洛必达法则，
x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝lim（cosx－1）/Akx^(k－1)，分子替换为等价无穷小量－1/2×x^2。得
x→0时，lim（sinx－x）/Ax^k＝－1/2Ak×lim x^(3－k)。
由此极限等于1，得k＝3，－1/2Ak＝1，A＝－1/6。
所以，x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。
方法二：
sinx在x＝0处的Taylor公式是sinx＝x－1/3!×x^3＋1/5!×x^5+...，所以sinx－x＝－1/6×x^3－1/120×x^5+...＝－1/6×x^3(1+1/20×x^2+...)。
x→0时，括号内的函数趋向于1，所以
x→0时，sinx－x～－1/6×x^3。
本回答被提问者和网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
