Question

拓扑紧集 2

6题~

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Answer 1

这里其实是一个非常有趣的结论。康托集的勒贝格测度是0，但是康托集所含有的元素个数与[0,1]是一样多的。
将[0,1]中的数用三进制表示，因为1=1.00000……=0.22222……有两种表示方法。所以约定如果从某一位开始全部是0，那么最后一个非0的数必须是2；如果从某一位开始全部是2，那么最后一个非2的数必须是0。（这个约定看起来有点奇怪，但在后面就会发现这样很有用）比如1/3表示成0.02222……,2/3表示成0.2000…….这样三进制表示就唯一了。
换个角度去理解康托集。第一次操作，去掉中间1/3的开区间，对应到三进制表示里就是把小数点后第一位是1的数去掉了；第二次操作就是把小数点后第二位是1的数去掉了……最后得到的数的三进制表示里不含有1。下一步就是把2映成1，这样就把康托集与[0,1]的二进制表示一一对应了。

追问

大大，昨天我去问了一下教授他说这里可以不用实变的知识可以通过拓扑的定理得到。。

追答

这里的同胚我只想到和“拓扑紧集4”里一样的证明，就是通过三进制来证明。