Question

拓扑紧集 2

这里有3道题,中间那道没有标号,麻烦您了

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Answer 1

追问

大大，请问挑战题那里怎么用的convex和非空内点呢…

大大，第五题如果用theta的话，方程的逆怎么办呢…不好一对一的呀

大大，第六题请问最开始哪个是紧集呢…能不能解释一下呢

追答

挑战题想法就是选取一个内点，然后将这个内点与边界上的点连起来扫一圈就得到整个凸集了。凸性是保证连线上的点都在凸集内部，而且连线上除了端点外不会有其它的边界点。没有内点的话，比如二维空间的线段，就不与圆同胚。
5，逆的话就乘以r(θ)就行了。
6，|e|=1是紧集，然后这n个紧集的乘积空间（n个单位球的乘积空间）还是紧集，VnRn是这n个单位球的乘积空间的子集。
6我觉得应该有更好的方法。

追问

大大挑战题有三个问题，为什么连线上除了端点都在内部呢?第二，能不能解释一下紧集的性质用在哪里和为什么就同胚于S^n-1了呢？

5题不太明白，我只是担心逆不是一对一的就像2pi和4pi对应得是一样的。

第六题大大，能不能解释一下|e|=1的意思呢。不懂。。呀

追答

挑战题，因为选取的中心x0是内点，存在一个开球G是包含x0，并且G是X的子集。然后让边界点与开球的每一个点连一条线，形成一个不倒翁状的图形，其内部都在X内部，所以除了端点都在内部。紧集应该是保证是有界闭集，闭集的边界是其子集，无界则无法压缩成一个球。同胚就是把边界压缩成球，见下图。

5，θ是有范围的，[0,2π)

6，先考虑单个的n维向量，|e|=1就是单位球。n维矩阵就是（v1,v2,……,vn），看成n个向量空间的笛卡尔积（X1×X2×……×Xn）中的元素,其中vi∈Xi，Xi=R^n

追问

大大第六题好像快懂了，请问您这里是想证明闭集和有界然后证明是紧集吧，而且还用了多个紧集的组成的乘积拓扑还是紧集，大大您能不能解释一下怎么证明闭集呢…有点看不懂。

追答

闭集的证明我是给矩阵空间赋予了一个范数，然后就是证明任何柯西列都收敛。不过这里不应该用范数，而是应该用距离，d(A,B)=max|aij-bij|。收敛就是先证明存在一个矩阵是这个柯西列的极限，然后在证明这个矩阵正交。

追问

但是矩阵的距离请问是怎么定义的呢？还有这里的正交性怎么用呢

追答

我定义的距离是A=(aij),B=(bij),d(A,B)=max|aij-bij|。VnRn中的元素都是正交矩阵，证明它闭需要证明正交矩阵柯西列的极限还是正交矩阵。

不过老实说，我觉得我的证明不好。应该有更好的方法。

追问

大大，我请教一下教授为什么一个内点和一个边界点之间的连线一定在内部，教授画了一个图给我。。。想不通…还有第六题这个集合是闭集是可以由直接正交得到。。

我觉得会不会是子集的内部必须在内部了

大大，请问aji^m和A'是什么意思呢

我懂了，内点和边界连续必须在内部，假设存在另外一个边界点立刻得到不是凸性。这样呢

大大，能不能解释下面这句话呢。

追答

前面的问题你只要想象三维里的圆锥，就知道圆锥底面圆心和顶点连线上的点除了端点都是内点。
后面那句话是在说什么问题？

追问

用于证明任意有限拓扑的子空间都是紧集
大大，那第二种思路怎么样呢？假设任意一个内点和边界点的连续延长或者不延长交另一个边界点，那么两个边界点之间必须是边界点不然不满足凸性，如果全是边界点怎么得到矛盾呢

追答

有限拓扑不就有限个点吗，对于任意开覆盖，每一个点找一个覆盖并起来就是有限覆盖了。
后面你说的其实是我一开始的想法，虽然能想清楚，但是写清楚却很麻烦，最后想到反例还是通过上面那个圆锥状的东西构造的，所以就直接用圆锥来说明了。

追问

错了，错了…我说错了，是有限补拓扑finite complement space
那么我们还是需要证明，这条线段是在这个圆锥的内部，在利用在子集的内部一定在原集合的内部吧，所以我们只要证明在子集的内部，这个很明显怎么证呢…

大大，还有一道今天抽象代数考试的最后一题，对于GL2(Z5),然后找SL2(Z5)的阶，我的第一想法就是用群同态基本定理做矩阵A到|A|,得到GL\SL同构于Z交(0,25],在用拉格朗日定理|G|\25=25,但是我突然意识到了一个问题，0矩阵映射到哪里？

7，就是det等于0的怎么办呢

追答

finite complement space这里的任意开集除了X的有限个点以外覆盖了剩下的全部，然后这有限个点每一个点找一个覆盖，再加上前面的开集，就是有限覆盖。

后面这个非要证明的话就这样，给选定的内点定为原点O，边界点坐标为x，连线上的点坐标为kx，0<k<1。包含原点的开球B(O,r)是X的子集，那么B(kx,(1-k)r)也是X的子集（利用相似关系）。所以连线上的点都是内点。

线性变换是一一映射，不存在行列式为0的情况

追问

明白了，在利用对于任意开覆盖，如果我们能在X里面找到一个有限覆盖，那么对于子集Y，同样也是有限覆盖了

大大，如果r比kx短，怎么办呢

追答

利用凸性，B(kx,(1-k)r)中的点都在x和B(O,r)的连线上。

追问

大大，明白了，这样对于线段xO，上每一个点可以找到一个开集在圆锥里面，多问一个问题，可能是我记错了，相似是不是kx/x=小圆半径/大圆半径，那么小圆半径等于kr呀

大大，谢谢您

大大，第六题教授建议找一个连续的常值方程把V^kR^n映射到这个常值c，那么根据连续性就可以得到闭集，请问这个怎么想才能构筑呢？

追答

就用A×A’=E就行

追问

请问A'是什么呢

追答

转置

追问

…转置跟正交有什么关系呢？

追答

A是正交矩阵等价于A乘A转置是单位矩阵

追问

懂了…最后得到v1v1,v1v2...v1vk
V2v1,v2v2...v2vk
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vkv1...vkvk…对不起…我把转置忘了…是说看着很眼熟就是差一点。谢谢您。而且这个连续性我们证明过的吧。。。