Question

高等数学问题，有没方法可以快速求高阶导数在x=0这一点的值。

高等数学问题，有没方法可以快速求高阶导数在x=0这一点的值。比如tan（sinx）的100皆导数，在x=0这点的值是多少

Answer 1

少数函数可以，很多函数不可以。
幂函数，n次，超过n次的导数为0；
e^x,无论多少阶导数，都是e^x
sinx,奇数阶，正负cosx；偶数阶，正负sinx；正负交替。
cosx，奇数阶，正负sinx；偶数阶，正负cosx；正负交替。
1/x，（-1）（-2）...（-n）/x^(n+1)
lnx,1/x,（-1）（-2）...（-n）/x^(n+1)
......

追问

那我上面的函数可以吗

可以解释下这题怎么做出来的

吗

追答

用麦克劳林级数求导数，理论上是可以的，关键是，这个级数的系数也是求导数得来的，问题回到起点。

追问

我有个概念模糊：一阶导数不存在的点是驻点吗，一阶导数不存在的点是极值点吗，二阶导数不存在的点是拐点吗

追答

设y=tan（sinx）
sinx=arctany
x=0,y=0
两边微分
cosxdx=dy/（1十y²）
y'= （1十y²）cosx
y''=2yy'cosx- （1十y²）sinx
奇数阶，1,偶数阶，0

驻点，是一阶导数为0。
一阶导数不存在，可能是最值点，极值点一阶导数必须是0。极值点就是左右都比它小（或大）。

拐点，二阶导数=0.

左右，二阶导数变号。

追问

我想问一下重我原来的问题来说，洛必达和泰勒公式求极限又有什么区别呢，不是一样要求导这么多次吗

追答

洛必达法则只适用于分式。泰勒公式主要用来求函数值，而不是求极限。