求收敛区间内的和函数
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答：2ln(1 + x/2) 和 1/(1 - x)²
主要是运用凑积分和凑导数技巧
Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ * xⁿ⁺¹/(2ⁿ(n + 1))
= Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ/2ⁿ * ∫(0,x) xⁿ dx
= ∫(0,x) Σ(n=0,∞) (- x/2)ⁿ dx
留意等比级数和Σ(n=0,∞) xⁿ = 1/(1 - x)，这里把x替换为- x/2
= ∫(0,x) 1/(1 - (- x/2)) dx
= ∫(0,x) 1/(1 + x/2) dx
= ∫(0,x) 2/(x + 2) dx
= 2ln(x + 2) |(0,x)
= 2ln(x + 2) - 2ln(2)
= 2ln((x + 2)/2)
= 2ln(1 + x/2)
Σ(n=0,∞) (n + 1)xⁿ
= Σ(n=0,∞) d/dx xⁿ⁺¹
= d/dx Σ(n=0,∞) xⁿ⁺¹
= d/dx [ x * Σ(n=0,∞) xⁿ ]
= d/dx [ x * 1/(1 - x) ]，运用导数乘法则
= 1/(1 - x) + x * - 1/(1 - x)² * (- 1)
= 1/(1 - x) + x/(1 - x)²
= 1/(1 - x)²
主要是运用凑积分和凑导数技巧
Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ * xⁿ⁺¹/(2ⁿ(n + 1))
= Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ/2ⁿ * ∫(0,x) xⁿ dx
= ∫(0,x) Σ(n=0,∞) (- x/2)ⁿ dx
留意等比级数和Σ(n=0,∞) xⁿ = 1/(1 - x)，这里把x替换为- x/2
= ∫(0,x) 1/(1 - (- x/2)) dx
= ∫(0,x) 1/(1 + x/2) dx
= ∫(0,x) 2/(x + 2) dx
= 2ln(x + 2) |(0,x)
= 2ln(x + 2) - 2ln(2)
= 2ln((x + 2)/2)
= 2ln(1 + x/2)
Σ(n=0,∞) (n + 1)xⁿ
= Σ(n=0,∞) d/dx xⁿ⁺¹
= d/dx Σ(n=0,∞) xⁿ⁺¹
= d/dx [ x * Σ(n=0,∞) xⁿ ]
= d/dx [ x * 1/(1 - x) ]，运用导数乘法则
= 1/(1 - x) + x * - 1/(1 - x)² * (- 1)
= 1/(1 - x) + x/(1 - x)²
= 1/(1 - x)²
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2021-11-22 广告
假设条件在短路的实际计算中， 为了能在准确范围内迅速地计算短路电流， 通常采取以下简化假设。（1）不考虑发电机的摇摆现象。（2）不考虑磁路饱和，认为短路回路各元件的电抗为常数。（3）不考虑线路对地电容， 变压器的磁支路和高压电网中的电阻， ...
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