Question

x的平方加a的平方的平方分之一的积分怎么求？为何如图所示？

Answer 1

(-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

解析：

令x=atant，则：

∫dx/(x²+a²)²

=∫d(atant)/(a²tan²t+a²)²

=∫(asec²tdt)/(a²sec²t)²

=(1/a³)∫(sec²t/sec⁴t)dt

=(1/a³)∫1/sec²tdt

=(-1/a³)∫cos²tdt

=(-1/a³)(1/2)∫(1+cos2t)dt

=(-1/2a³)(t+0.5sin2t)+C

=(-1/2a³)[t+tant/(1+tan²t)]+C

=(-1/2a³)[t+(x/a)/(1+x²/a²)]+C

=(-1/2a³)[t+(ax)/(x²+a²)]+C

=-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

扩展资料：

性质

通常意义

积分都满足一些基本的性质。以下的  在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。

线性

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

所有在  上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：

所有在可测集合  上勒贝格可积的函数f和g都满足：

在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有

如果函数f在两个不相交的可测集  和  上勒贝格可积，那么

如果函数f勒贝格可积，那么对任意  ，都存在    中任意的元素A，只要  ，就有

参考资料：百度百科——积分

Answer 2

(-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C
解析：
令x=atant，则：
∫dx/(x²+a²)²
=∫d(atant)/(a²tan²t+a²)²
=∫(asec²tdt)/(a²sec²t)²
=(1/a³)∫(sec²t/sec⁴t)dt
=(1/a³)∫1/sec²tdt
=(-1/a³)∫cos²tdt
=(-1/a³)(1/2)∫(1+cos2t)dt
=(-1/2a³)(t+0.5sin2t)+C
=(-1/2a³)[t+tant/(1+tan²t)]+C
=(-1/2a³)[t+(x/a)/(1+x²/a²)]+C
=(-1/2a³)[t+(ax)/(x²+a²)]+C
=-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

Answer 3

分部积分,提示你

左边=x/(x²+a²)²-∫xd(1/(x²+a²)²)

追问

分部积分具体怎么做呢

追答

给你一个(x²+a²)^(-n)积分的推导,把n=2代入就行了.

Answer 4

令x=atant，则：
∫dx/(x²+a²)²
=∫d(atant)/(a²tan²t+a²)²
=∫(asec²tdt)/(a²sec²t)²
=(1/a³)∫(sec²t/sec⁴t)dt
=(1/a³)∫1/sec²tdt
=(1/a³)∫cos²tdt
=(1/a³)(1/2)∫(1+cos2t)dt
=(1/2a³)(t+0.5sin2t)+C
=(1/2a³)[t+tant/(1+tan²t)]+C
=(1/2a³)[t+(x/a)/(1+x²/a²)]+C
=(1/2a³)[t+(ax)/(x²+a²)]+C
=(1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

Answer 5

(-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

解析：

令x=atant，则：

∫dx/(x²+a²)²

=∫d(atant)/(a²tan²t+a²)²

=∫(asec²tdt)/(a²sec²t)²

=(1/a³)∫(sec²t/sec⁴t)dt

=(1/a³)∫1/sec²tdt

=(-1/a³)∫cos²tdt

=(-1/a³)(1/2)∫(1+cos2t)dt

=(-1/2a³)(t+0.5sin2t)+C

=(-1/2a³)[t+tant/(1+tan²t)]+C

=(-1/2a³)[t+(x/a)/(1+x²/a²)]+C

=(-1/2a³)[t+(ax)/(x²+a²)]+C

=-1/2a³)[arctan(x/a)+(ax)/(x²+a²)]+C

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c