化二次型为标准型？
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f＝x₁²+2x₂²+5x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+8x₂x₃
＝[x₁²+2x₁(x₂+x₃)]+2x₂²+5x₃²+8x₂x₃
＝(x₁+x₂+x₃)²-(x₂+x₃)²+2x₂²+5x₃²+8x₂x₃
＝(x₁+x₂+x₃)²+x₂²+6x₂x₃+4x₃²
＝(x₁+x₂+x₃)²+(x₂+3x₃)²-5x₃²，
令 y₁＝x₁+x₂+x₃，y₂＝x₂+3x₃，y₃＝x₃，
则 x₁＝y₁-y₂+2y₃，x₂＝y₂-3y₃，x₃＝y₃，
故在此线性变换下
f＝y₁²+y₂²-5y₃².
＝[x₁²+2x₁(x₂+x₃)]+2x₂²+5x₃²+8x₂x₃
＝(x₁+x₂+x₃)²-(x₂+x₃)²+2x₂²+5x₃²+8x₂x₃
＝(x₁+x₂+x₃)²+x₂²+6x₂x₃+4x₃²
＝(x₁+x₂+x₃)²+(x₂+3x₃)²-5x₃²，
令 y₁＝x₁+x₂+x₃，y₂＝x₂+3x₃，y₃＝x₃，
则 x₁＝y₁-y₂+2y₃，x₂＝y₂-3y₃，x₃＝y₃，
故在此线性变换下
f＝y₁²+y₂²-5y₃².
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哈美顿（上海）实验器材有限公司
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