Question

二次型化为标准型的步骤。

Answer 1

1、含平方项的情形

用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形

解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3

--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补

= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3

--然后同样处理含x2的项

= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2

2、不含平方项的情形

比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3

令 x1=y1+y2, x2=y1-y2

代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理

3、特征值方法

写出二次型的矩阵

求出矩阵的特征值

求出相应的特征向量

矩阵半正定和正定判定：

实对称矩阵A正定

<=>A合同于单位矩阵

<=>A的特征值都大于0

<=>X'AX的正惯性指数 = n

<=>A的顺序主子式都大于0

实对称矩阵A半正定

<=>A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n

<=>A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0

<=>X'AX的正惯性指数 p < n.

Answer 2

1. 含平方项的情形
用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形

解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3
--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补
= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3
--然后同样处理含x2的项
= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2

2. 不含平方项的情形
比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3
令 x1=y1+y2, x2=y1-y2
代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理

3. 特征值方法
写出二次型的矩阵
求出矩阵的特征值
求出相应的特征向量
这部分比较麻烦, 你找本教材看看例题吧

追答

谢谢采纳

追问

能不能帮我写下(1)

追答

我已经告诉你方法了，现在你要自己写，学习是自己的，加油

追问

你帮我看看哪错了

谢啦

不用了，我知道了

Answer 3

就是得看题啊

Answer 4

得看题