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分部积分法逆应用
∫1/(u²+a²)du
=u/(u²+a²)-∫u(-2u/(u²+a²)²)du
=u/(u²+a²)+2∫(1/(u²+a²)-a²/(u²+a²)²)du
∴2a²∫1/(u²+a²)²du=u/(u²+a²)+∫1/(u²+a²)du
∫1/(u²+a²)du
=u/(u²+a²)-∫u(-2u/(u²+a²)²)du
=u/(u²+a²)+2∫(1/(u²+a²)-a²/(u²+a²)²)du
∴2a²∫1/(u²+a²)²du=u/(u²+a²)+∫1/(u²+a²)du
追答
不过建议还是用三角函数性质，换元u=atant处理更简单点
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