球的体积微积分该怎么推导？
设球的半径为r，圆：x²+y²=r², ∴ x² = (r² - y²)
切片面积: A = π x²
切片体积:δv = A * δy，∴ δv = π x² δy，
综上：δv = π (r² - y²) δy
v = ∫{[π (r² - y²)],-r, r} dy
v = π ∫{[(r² - y²)],-r, r} (提出常数)
v = 2π∫{[ (r² - y²)],0, r} (-r到0 和 0到r 对称)
v = 2π [y*r² - y³/3] <0,r>
v = 2π {[r * r² - r³/3]-0} (极限代入y)
v = 2π {[r³ - r³/3]-0}
∴ v = 4/3 π r³
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
几何积分过程分下面这三个步骤（截图来自汤家凤老师的高数课程）：
1、取出微变量元素及对应变量的范围，如上面函数f(x),变量是x，微变量元素为dx（趋于零，没有量变，是理想的）
2、找出微积量元素（微小的面积或体积、路程之类的）如上面的小矩形体积为f(x)*dx（没有量变，也是理想的）
3、对微积量元素进行积分，产生了量变。
对球积分，只要先积分右半个球再乘以2
如上图展示半径为r的球中心截面，右半球可以由从y轴开始垂直于x轴的多个微圆柱体 体积 积分而来(因为dx是没有量变的，可以理解x到x+dx的截面为一个圆柱，圆的半径为rx，高为dx)。圆柱的面积f(x) = PI*rx^2 = PI*(r^2-x^2)
1、可以设某个圆柱体离y轴的距离为x，则微变量元素为dx。
2、每个小圆柱的微体积元素为 dA = PI*rx^2 dx = PI*(r^2-x^2) dx，（注意被积的是圆柱型的元素，是垂直于x轴的球的切片，上面的图中并没有显示出来，需要想象一下）
3、则右半球的体积为∫[0,r]PI*(r^2-x^2)dx = PI*r^2|[0,r] - PI*(1/3)*x^3|[0,r] = (2/3)*PI*r^3
则整个球的体积为(4/3)*PI*r^3
