求曲线pθ＝1相应于3/4≦θ≦4/3的一段弧长
微弧ds=√（dr²+（rdθ）²）=dθ√（（dr/dθ）²+r²）
r=1/θ，dr/dθ=-1/θ²代入
ds=dθ√（1/θ^4+1/θ²）
=(1/θ)dθ√（1/θ²+1）
=[√（1/θ²+1）/θ]dθ弧长=∫（3/4,4/3）[√（1/θ²+1）/θ]dθ
设1/θ=tanu，θ=1/tanu=cosu/sinu，dθ=[-sinusinu-cosucosu]/sin²u.du=-1/sin²u.du
u=arctan（1/θ），u1=arctan（4/3），u2=arctan（3/4）
弧长=∫（u1,u2）[secutanu]（-1/sin²u.du）
=∫（u2,u1）[sinu/cos²u]（1/sin²u.du）
=∫（u2,u1）[1/sinucos²u]du
用万能置换共识：
设t=tan（u/2），u=2arctant，du=2/（1+t²）.dt
sinu=2t/（1+t²），cosu=（1-t²）/（1+t²）
弧长=∫（t2，t1）（1+t²）/2t.（1+t²）²/（1-t²）².2/（1+t²）.dt
=∫（t2，t1）（1+t²）²/t（1-t²）².dt
=∫（t2，t1）（1+2t²+t^4）/t（t-1）²(t+1)².dt
设（1+2t²+t^4）/t（t-1）²(t+1)²=A/t+B/（t-1）²+C/（t-1）+D/(t+1)²+E/(t+1)
两边恒等，解得A=1，B=1，C=0，D=-1，E=0
弧长=∫（t2，t1）[1/t+1/（t-1）²-1/(t+1)²]dt
=[lnt-1/(t-1)+1/(t+1)]（t2，t1）
=[lnt-2/(t²-1）]（t2，t1）
=ln（t1/t2）-2[1/(t1²-1）-1/(t2²-1）]
t1=tan(u1/2)=tan[arctan(1/θ1)/2]=tan[arctan(4/3)/2]
t2=tan(u2/2)=tan[arctan(1/θ2)/2]=tan[arctan(3/4)/2]
勾股定理，设α=arctan（3/4），sinα=3/5，cosα=4/5；
sin（α/2）=√[(1-cosα)/2]=√[(1-4/5)/2]=1/√10
cos（α/2）=√（1-1/10）=3/√10
t2=tan（α/2）=1/3；
arctan(4/3)=π/2-α
t1=tan[(π/2-α)/2]=tan(π/4-α/2)=（1-1/3）/（1+1/3）=2/4=1/2代入
弧长=ln（3/2）-2[1/(1/4-1）-1/(1/9-1）]
=ln（3/2）-2[-4/3+9/8]=ln（3/2）+8/3-9/4
=ln（3/2）+5/12
扩展资料：
扇形弧长和计算公式：
半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长
的计算公式为
简单计算一下即可，答案如图所示
利用极坐标求弧长的公式
