不定积分求原函数
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令x=asint→dx=acost·dt
则：∫√(a²-x²)/x⁴dx
=∫[(acost)/(asint)⁴·acostdt
=(1/a²)·∫cos²t·dt/sin⁴t
=(1/a²)·∫cos²t·csc⁴tdt
=(1/a²)·∫cot²t·csc²tdt
=-(1/a²)·∫cot²t·d(cott)
=-(⅓/a²)·(cot³t)+C
sint=x/a→cot(t)=√(a²-x²)/x
原积分=-(⅓/a²)·[√(a²-x²)/x]³+C
更多追问追答
追问
用倒代换的方法，就是另x=1/t的方法
追答
令x=1/t→dx=-dt/t²
则：∫√(a²-1/t²)/(1/t)⁴·(-dt/t²)
=-∫t²√(a²-1/t²)dt
=-∫t√(a²t²-1)dt
=-(1/2a²)·∫√(a²t²-1)d(a²t²-1)
=-(1/2a²)·⅔(a²t²-1)^(3/2)+C
=-(⅓/a²)(a²/x²-1)^(3/2)+C
=-(⅓/a²)·[√(a²-x²)/x]³+C
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