Question

设A为n阶矩阵，且A^k=O，求（E-A）的逆矩阵？

Answer 1

利用公式a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+...+b^(n-1)]

即可,将a代为E,b代为A,则有E^n-A^n=(E-A)[E^(n-1)+E^(n-2)A+...+A^(n-1)],

由于A^k=O,E^k=E,

因此(E-A)[E+A+...+A^(n-1)]=E,根据可逆矩阵的定义,就有E-A可逆,

且其逆等于E+A+...+A^(n-1)。

可逆矩阵：

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

利用公式a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+...+b^(n-1)]
即可,将a代为E,b代为A,则有E^n-A^n=(E-A)[E^(n-1)+E^(n-2)A+...+A^(n-1)],
由于A^k=O,E^k=E,
因此(E-A)[E+A+...+A^(n-1)]=E,根据可逆矩阵的定义,就有E-A可逆,
且其逆等于E+A+...+A^(n-1)。
希望对你有所帮助
还望采纳~~