Question

微分方程，求f(x)

设f(x)在[0，+∞）上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值＝f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)

Answer 1

希望写的很清楚

追答

拍个清楚的

Answer 2

第一步，求表达式。
f(x)在[0,x]上的平均值
=f(x)dx在[0,x]上的定积分/x
=[f(0)+f(x)]/2
第二步，移项整理。
f(x)dx在[0,x]上的定积分
=x[f(0)+f(x)]/2
第三步，两边同时求导。
f(x)=[f(0)+f(x)]/2+xf'(x)，整理得
f(x)-f(0)=xf'(x)
f'(x)/[f(x)-f(0)]=1/x
d[f(x)-f(0)]/[f(x)-f(0)]=dx/x
ln[f(x)-f(0)]=lnx+lnC
f(x)-f(0)=Cx
第四步，求C。
令x=1，则得f(1)-f(0)=C
所以，f(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)

追问

这个是答案，最后一步是怎么算出来的，试了好几遍都和答案不一样

Answer 3

平均值=1/x∫f(x)dx |0,x
几何平均数=根号(f(0)f(x))
所以1/x ∫f(x)dx |0,x = 根号(f(0)f(x))
所以∫f(x)dx |0,x = 根号(f(0)) 根号(f(x)) x
两边求导得到f(x)=根号(f(0)) 根号(f(x)) + 0.5 根号(f(0)) x f'(x) /根号f(x)

y=f(x), c=根号(f(0))得到
y= c y^(1/2) + 0.5 c xy'/y^(1/2)
y^(3/2) =cy +0.5c xy'
0.5cx y' = y^(3/2) -cy
0.5cdy/[y^(3/2) -cy] = dx/x
t=y^(1/2)
dt = 1/2 y^(-1/2) dy = dy/(2t )
dy = 2tdt
0.5c2tdt /[t^3-ct^2] = dx/x
ctdt/t^2(t-c) =dx/x

追问

最后的结果f(x)还是算不出来

追答

这个已经是多项分式了啊？常微分方程有专门解法的，都能求出来的
ctdt/t^2(t-c)=dx/x
cdt/t(t-c) = dx/x
-dt/t + dt/(t-c) = dx/x
ln(t-c) -lnt = lnx +C1
(t-c)/t = c2x
c/t = 1-c2x
t=c/(1-c2x)
c2是任意常数

追问

这个是题目的答案，想问一下最后一步是怎么算出来的？

Answer 4

这个是1800题吧，能推出来结果，但我不明白c＞=0，

Answer 5

我想问问为什么f（x）dx0到x上的值是所有的f（x）加起来的和吗 定积分出来不就是F（x）了吗
就是。。定积分不是面积的意思吗？ 平均值不是所有的f（x）加起来的和吗？是y的和不是面积的和呀