当x→2时,y=x^2→4.问δ等于多少,使当|x-2|<δ时,|y-4|<0.001?
解:
欲使得:当|x-2|<δ时,不等式|y-4|<0.001(ε)成立。
则从不等式|y-4|<0.001(ε)的成立出发。
寻找δ.注意,δ是可控|x-2|的。
即,δ是限制x与2的距离的。
现在,从不等式|y-4|<0.001(ε)的左边开始:
|y-4|=|x^2-4|=|x+2||x-2|。
因为本题中x→2,所以我们可以预先限制x与2的距离|x-2|<1。
这样做的目的是为了【非|x-2|且含变量x的因素|x+2|常量化】。
来看:因为限制了|x-2|<1,所以3<x+2<5。
从而因素|x+2|<5。
则,★|y-4|=|x^2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|。
【欲】<0.001(ε)。
就需要|x-2|<0.001(ε)/5。
扩展资料
举例
|y-4| = |x^2-4| < 0.001。
则 -0.001 < x^2-4 < 0.001。
,所以 3.999 < x^2 < 4.001。
解得 1.9998 < x < 2.0003。
因此 -0.0002 < x-2 < 0.0003 。
因此只须 |x-2| < 0.0002 就可使 |x^2-4| < 0.001 。
也就是说,δ = 0.0002 (其实取的更小也完全可以,如 0.0001 。
困了就赶紧睡吧。