Question

全微分与的积分是不是原函数？

已知u=xy，有u的全微分du=（∂u/∂x）dx+
（∂u/∂y）dy ，两边积分可得∫du=∫ydx +∫xdy=xy+xy ，这是怎么回事？

Answer 1

题主，全微分是对全增量的线性近似，这两个的概念是相对应的，尽管全微分是由各自偏导和微量之积的和构成，但和偏导数是不同的，不可以直接对全微分积分。偏导数的存在是全微分的必要条件，而偏导存在且在(x,y)点连续是全微分的充分条件。
顺便说说导数和积分吧
设函数u是关于x的一元函数
对u求导，得到u的导函数u'，再对u'积分，又会得到函数u(如果函数u没有常数项)
同样的，设函数u是关于x，y的二元函数
对u求x的偏导，得到u关于x的偏导数u'，再对u'求对x的积分，又会得到函数u(如果函数u没有常数项)。对y同理

追答

可以看看同济大学第七版高数下册第72页全微分

追问

谢谢你，不过另一个答主补充了还应该加上常数C，这里的常数是关于y的函数

Answer 2

注意积分与路径无关，为了简化计算，所以人为选择简单的积分路径

Answer 3

∫u（x，y）从（x0，y0）积到（x，y）。右边偏微分也从（x0，y0）积到（x，y）。注意不是x0到x，y0到y。根据积分途径，会有其中一个偏微分的积分为零。