Question

反常积分的敛散性判断，反常积分

如图所示，刚学，很多概念没弄清，请你耐心一点，谢谢

Answer 1

嗯。题目里指出了2是个瑕点，而上限是无穷大。所以呢，这个反常积分上下限都需要用变量a，b去逼近，把反常积分写成普通积分的极限形式。但是通常不会在一个普通积分里上下限同时用a,b再取极限，就像这题。所以把它拆成2到3的积分加上3到无穷积分。再第一个积分下限2换成a, a趋于2，第二个积分无穷换成b，再让b趋于无穷。至于为什么是3不重要，重要的为什么要拆成两个，就像我刚说的。你可以选择5，6，7...任何一个大于2的常数都可以。
你划波浪线的地方的思路是，解题中两处给出了当x趋于瑕点2或者无穷时，被积函数f(x)的的情况是和x的多少次方是一样。比方说你划线的2里面说x趋于无穷，f(x)/x^{?}=1（我看不清那个x的次数）。所以如果x^{?}如果在3到无穷积分收敛，那么f（x）在3到无穷也同样收敛。你划线的1和2没什么关系，1是和前面那个极限=1/2有关系，2是和后面那个积分收敛有关系。

追问

谢谢你的帮助，谢谢！

Answer 2

下限，x=2，函数无定义，分母为0，因此，下限也是反常点。上限无穷大也是反常点。教材中学过的反常积分只有一个反常积分限。困此，在上下限之间插入一个点，x=3，或其他有定义的任意值，将一个积分分成二个积分的和。一个积分限有意义，另一个取极值。

追答

实际上不必如此。设下限a，上限b，按普通积分：
∫（a，b）f（x）dx
=F（b）一F（a）
∫（2，十∞）f（x）dx
=lim（b→十∞）F（b）一lim（a→2）F（a）

Answer 3

要判断无穷积分∫(-∞,+∞)f(x)dx的敛散性
首先应该任取定a∈(-∞,+∞)
然后讨论：
∫(-∞,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx
二者的敛散性
在这个时候要特别注意：
∫(-∞,a)f(x)dx=lim (u→ -∞)∫(u,a)f(x)dx
∫(a,+∞)f(x)dx=lim (t→ +∞)∫(a,t)f(x)dx
在取极限的时候，二者不能用同一个指标（一定要分开，用两个指标u,t）

为什么要这样做？？？
先看定义：
设函数f在R的任一子区间上可积，取a∈(-∞,+∞)，若 ∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 都收敛，
则称∫(-∞,+∞)f(x)dx收敛且：∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,a)f(x)dx + ∫(a,+∞)f(x)dx
从定义中可以看到：∫(-∞,a)f(x)dx 和 ∫(a,+∞)f(x)dx 二者并无绝对的联系
可说二者互不干涉，因此对指标的选定一定要作出区分！！！
所以题目中用同一个R来做指标是不对的

从另一个角度来看
上述定义中说到：函数f在R的任一子区间上可积
而我们用同一指标根本不能满足定义所说的任一子区间
既然连定义的条件都不能满足，更不要说收敛了~~

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