Question

函数的连续性

Answer 1

①连续是从点出发定义的。x0是定义域一点，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时
|f(x)-f(x0)|<ε，则称为在x0连续。然后才定义了区间上的连续，如果在(a,b)区间每一点都连续就称在(a,b)区间连续。
注意这个定义最根本还是从一个点x0出发的，所以给了一个ε>0，你找的那个δ>0可以和x0和ε都有关系。对于不同的x0，即使给的ε是同一个数，找的δ也往往不同。
②一直连续直接从全局出发定义：在一个区间上如果任给ε>0，都存在一个δ>0，使得区间上任意两个点x'和x''只要满足了|x'-x''|<δ，那么就有|f(x')-f(x'')|<ε，就在区间上称为一致连续。
楼主应该发现了，一直连续相当于给了一个ε>0以后可以找到一个公共的δ，所有区间上的x一致地适用。换句话说，如果把连续的定义里面加上存在一个和x0无关的δ，那么就是一直连续的等价定义。
上面说的都是理解层面的，具体解题还是按照原式定义出发比较方便，个人认为。