Question

复变函数的积分与高等数学中哪类积分类似,有什么区别与联系?

Answer 1

周线就是复平面内的闭曲线，复变函数的积分类似于高等数学中对坐标的曲线积分，最一般的方法是对于复变函数f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，则复变函数积分
∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，从而转化为两个对坐标的曲线积分。该方法虽然是通用的，对被积函数和积分曲线都没有要求，但是一般很麻烦，不常用。复变函数中最重要的一类是所谓的解析函数，而且通常对闭曲线进行积分，如果函数f(z)在积分闭曲线内解析，则根据柯西古萨基本定理，此积分等于0，即解析函数沿闭曲线的积分等于0。如果函数在积分闭曲线内有唯一奇点z0，则可用柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)计算。对于被积函数不是f(z)dz/(z-z0)形式或积分闭曲线内有多个奇点的情况，有时可以通过变形转为为柯西积分公式适用的形式，更一般地可以用留数定理计算。