Question

射影定理中的"射影的比例中项"是什么意思?

Answer 1

郭敦顒回答：
在直角三角形abc中，∠acb=90°，cd⊥ab于d，则
①cd²=ad•bd；②ac²=ad•ab；③bc=bd•ab。
上结果就是直角三角形射影定理，或称为射影定理1（还有射影定理2，是关于一般三角形的，不介绍了）。
射影——从一点向一条直线引垂线所得的垂线足，叫做这点在这条直线上的正射影。正射影简称为射影。
一条线段的两个端点在另一条直线上射影间的线段，叫做这条线段在这条直线上的射影。
顾名释义，射影就是对点或线段垂直向下观看而见到的“影子”。
关于比例中项——cd²=ad•bd写为比例式是：ad：cd=
cd：
bd，cd为比例中项。

Answer 2

“b是a和c的比例中项”，是指a/b=b/c（bc≠0），也即b^2=ac。
射影定理说，在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上（两条）射影的比例中项，即是说：
在直角三角形ABC中，A为直角，D∈BC，AD⊥BC，则AD^2=BD×DC。（AB、AC在斜边上的射影分别为DB、DC）。
用相似三角形即可证。