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1个回答
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(1)第一个特解,是从幂函数的导数来的,如果右边是幂函数,必有幂函数形的特解。
y''+y=x²+1
幂函数求导一次,降幂1,求导两次,降幂2.
因此,左边是最高次在y中,两边最高次数,应该相等,∴y是二次函数,并且与右边系数相同。
二次函数求导两次,幂降为0次,就是常数。
设y=x²+ax+b
y'=2x+a
y''=2
代入:
2+x²+ax+b=x²+3
对照两边系数,得:
a=0,b=1
y=x²+1
(2)第二个特解,用变常数法求解。把齐次方程通解中的常数也看成是x的函数,且结果是原方程的解。
求导,代入,解出变常数对应的函数。由于求特解,有一个就行,因此,常数可以不考虑。如果考虑常数,我们就得到原方程的通解。比齐次通解+特解更通用,可以适用于非常系数方程。
y''+y=x²+1
幂函数求导一次,降幂1,求导两次,降幂2.
因此,左边是最高次在y中,两边最高次数,应该相等,∴y是二次函数,并且与右边系数相同。
二次函数求导两次,幂降为0次,就是常数。
设y=x²+ax+b
y'=2x+a
y''=2
代入:
2+x²+ax+b=x²+3
对照两边系数,得:
a=0,b=1
y=x²+1
(2)第二个特解,用变常数法求解。把齐次方程通解中的常数也看成是x的函数,且结果是原方程的解。
求导,代入,解出变常数对应的函数。由于求特解,有一个就行,因此,常数可以不考虑。如果考虑常数,我们就得到原方程的通解。比齐次通解+特解更通用,可以适用于非常系数方程。
追问
对不起,有一段时间没看知道。对于第二个特解还是没明白,是把cosx代入通解吗
追答
把通解的常数,看成x的函数(变常数),通解变成原来非齐次方程的通解,用待定函数法,解微分方程组,求出对应变常数代表的函数。回代,得到原方程的解。这是一种通用的微分方程求解方法。叫做“变常数法”。
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