Question

为什么齐次线性方程组的的系数行列式等于零就有非零解

Answer 1

这个系数行列式必然行数和列数是想等的，如果这个行列式的值是0那么行列式在行的初等变换中 必然可以出现一行全部都是0的状态。

这样一来也就是说，以前的方程组里面相互可以消掉某个方程，这个时候就出现了未知数数量大于方程数量，更多的未知数需要满足的方程数比较少所以，可取的值就会更多也就有非零解了。

常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 2

理解后这个性质其实不用证明的。齐次方程组是线性方程组的特殊形式，故关于线性方程组的性质齐次方程组也适用。n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是其系数行列式不等于0，这是线性代数中最重要的结论之一，证明教材上都有。注意当线性方程组的系数行列式等于0时，该线性方程组可能无解也可能有无数解，而由于齐次方程组必有零解，故系数行列式等于0时齐次方程组不可能无解，所以有无数组解，也就是有非零解。如果齐次方程组的系数行列式不等于0，那么它有唯一解，又因其必有零解，故这时齐次方程组只有零解。

Answer 3

首先，齐次线性方程组，肯定有零解。
如果系数矩阵行列式不等于0，则
系数矩阵可逆，Ax=0,等式左右同时左乘A逆，得到x=0,
即只有零解。
否则（即系数矩阵行列式等于0时），有其他解（即非零解）