Question

高等数学的数一的数列极限证明问题

Answer 1

第一题是个很经典的题目，学高数的基本上都会遇到这道题目。
1、首先要证明极限存在
A（n）单调升（显然）
用数学归纳法证明A（n）<=2；
根号（2）<=2
根号（2+根号（2））<=根号（2+2）=2
若A（n-1）<=2,则
A（n）=根号（2+A（n-1））<=根号（2+2）=2
然后安一楼的方法来做，即可求得极限
2、1/x-1<=[1/x]<=[1/x]+1
对上式同乘以x，运用夹逼法则即可证出（注意x的收敛方向）

Answer 2

1、记x1＝√2，x(n+1)＝√(2+xn)，归纳法可以证明0＜xn＜2，从而证得｛xn｝递增，所以xn有极限，设为a，在
递推公式
两边取极限得a＝√(2+a)，解得a＝2
2、[x]是
取整函数
吧
x→0+时，1/x≤[1/x]≤1/x＋1，所以1≤x[1/x]≤x＋1，由
夹逼准则
，x[1/x]→1
x→-时，1/x－1≤[1/x]≤1/x，所以1－x≤x[1/x]≤1，由夹逼准则，x[1/x]→1
所以，lim(x→1)
x[1/x]＝1

Answer 3

由题意可得：
记x1＝√2，x(n+1)＝√(2+xn)，归纳法可以证明0＜xn＜2，从而证得｛xn｝递增，所以xn有极限，设为a，在递推公式两边取极限得a＝√(2+a)，解得a＝2
又[x]是取整函数
当x→0+时，1/x≤[1/x]≤1/x＋1，所以1≤x[1/x]≤x＋1，由夹逼准则，x[1/x]→1
当x→-时，1/x－1≤[1/x]≤1/x，所以1－x≤x[1/x]≤1，由夹逼准则，x[1/x]→1
所以，lim(x→1)
x[1/x]＝1