Question

椭圆x2/a2 y2/b2=1 （a

Answer 1

解：
(1)
∵点A在圆x²＋y²＝c²上
∴△AF1F2为一直角三角形
∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c
∴|F2A|＝√(|F1F1|²－|F1A|²)＝√3c
由椭圆的定义知：
|AF1|＋|AF2|＝2a
c＋√3c＝2a
∴e＝c/a＝2/(1＋√3)＝√3－1
(2)
∵函数y＝√2＋logm(x)的图像恒过点(1，√2)
∴a＝√2，b＝1，c＝1
点F1(－1，0)，F2(1，0)
①若AB⊥x轴，则A(－1，√2/2)，B(－1，－√2/2)
∴向量F2A＝(－2，√2/2)，向量F2B＝(－2，－√2/2)，向量F2A•向量F2B＝4－1/2＝7/2
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y＝k(x＋1)
由
{y＝k(x＋1)
{x²＋2y²－2＝0
消去y得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2(k²－1)＝0
(*)
∵Δ＝8k²＋8＞0
∴方程(*)有两个不同的实根
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
则x1，x2是方程(*)的两个根
x1＋x2＝－4k²/(1＋2k²)
x1x2＝2(k²－1)/(1＋2k²)
向量F2A＝(x1－1，y1)，向量F2B＝(x2－1，y2)，
向量F2A•向量F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k²)x1x2＋(k²－1)(x1＋x2)＋1＋k²
＝(1＋k²)[2(k²－1)/(1＋2k²)]＋(k²－1)[－4k²/(1＋2k²)]＋1＋k²
＝(7k²－1)/(1＋2k²)＝7/2－[9/2(1＋2k²)]
∵1＋2k²≥1
∴0＜1/(1＋2k²)≤1，0＜9/[2(1＋2k²)]≤9/2
－1≤向量F2A•向量F2B＝7/2－[9/2(1＋2k²)]＜7/2
由①②知：
－1≤向量F2A•向量F2B＜7/2