Question

求xarcsinx不定积分

Answer 1

∫xarcsinxdx=1/2∫arcsinxdx²
=1/2{arcsinx*x²-∫x²d(arcsinx)}
=1/2{x²*arcsinx-∫x²/√(1-x²)dx}
=1/2*x²*arcsinx+x/4*√(1-x²)-1/4*arcsinx+C
其中∫x²/√(1-x²)dx 是有公式,
设sinu=x,tanx=x/√(1-x²),x=arcsinu,dx=1/(√(1-u²))du=1/cosu du
∫x²/√(1-x²)dx =∫sin²u/cosu * 1/cousu du=∫sin²udu
=-∫sinud(cosu)
=-sinu*cosu+∫cosud(sinu)
=-sinu*cosu+∫(1-sin²u)du=-sinu*cosu+u-∫sin²udu
得
2∫sin²udu=-sinu*cosu+u
∫sin²udu=-1/2*sinu*cosu+u/2=u/2-1/4sin2u
=1/2*arcsinx-1/4 * (2tanu/(1+tan²u))
=1/2*arcsinx-1/2*(x/√(1-x²)/(1+x²/(1-x²)))
=1/2*arcsinx-x/2*√(1-x²)+C