Question

问大家一道高等数学的问题，望求解答!谢谢

这道题是第六大题的第2个，但是要求的方法是球面坐标的方法，不能使用柱面坐标计算的方式。真的谢谢了!!

Answer 1

分析:
要使用球面坐标，难点是确定φ的积分限，需要找到一个圆锥面。两个球面的交线方程整理后是z=R/2，x^2+y^2=3R^2/4，以此曲线围成的圆为底面，顶点为坐标原点，z轴为对称轴的圆锥面的顶角的一半是π/3，所以圆锥面的球面坐标方程是φ=π/3。
这个圆锥面把整个区域分为上下两部分，其中φ的范围分别是0到/3，与π/3到π/2。自己作图看看。
解题过程是:
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到2π)
dθ
∫(0到π/3)
dφ
∫(0到R)
(rcosφ)2×r^2sinφ
dr+∫(0到2π)
dθ
∫(π/3到π/2)
dφ
∫(0到2Rcosφ)
(rcosφ)2×r^2sinφ
dr=59πR^5/480。
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附带说一句，如果不限定方法，这个题目用直角坐标做是最简单的，选择先对x,y再对z积分的顺序。
∫∫∫z^2dxdydz=∫(0到R/2)
z^2dz
∫∫(D1)
dxdy+∫(R/2到R)
z^2dz
∫∫(D2)
dxdy，其中D1:x^2+y^2≤2Rz-z^2，D2:x^2+y^2≤R^2-z^2。
=∫(0到R/2)
z^2×π×(2Rz-z^2)
dz+∫(R/2到R)
z^2×π×(R^2-z^2)
dz
=59πR^5/480