利用拉格朗日中值定理证明不等式(arctana-arctanb)的绝对值≤(a-b)的绝对值
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由于(arctanx)'=1/(1+x^2),故在[a.b]上对arctanx使用拉格朗日中值定理,得arctanb-arctana=(b-a)/(1+ξ^2),加绝对值得|arctana-arctanb|=|a-b|/|1+ξ^2|,由于1/|1+ξ^2|≤1,故|arctana-arctanb|≤|a-b|.
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