Question

椭圆的基本性质

Answer 1

一，椭圆作图

先画一条直线n，我们称其为轴或轴线；再画一条与轴垂直的直线l，我们把它当做准线。在准线右侧轴上取一点F，我们把它当做焦点。

设准线与轴的交点为N。在线段NF上取一点A。让点A位于线段NF中点的右侧即靠近焦点的一侧。则AF/NA<1。这个值就是离心率e。在轴上点A的右侧取点E。过E作轴的垂线m。测得线段NE的长度，用它乘以离心率e得一数r（其实就是已知成比例的四项中的三项求第四项，这是可以通过尺规作图法作出的）。以所得之数r为半径，以点F为圆心作一个圆，这个圆与垂线m交于两点P和P'。让点E运动，则点P和P'就描绘出椭圆。见下面的动画。

（二）椭圆的一条重要基本性质

下面介绍椭圆的一条重要且基本的性质，它是后面所讲其他性质的基础。如下图所示。P、Q是椭圆上任何两点，连接PQ并延长与准线交于点R。连接焦点F与P和Q，得线段FP和FQ。再连接FR。则FR为三角形PFQ角F的外角∠QFR'的平分线，即∠1=∠2。

证明：

（1）分别过点P和Q作准线l的垂线，设垂足分别为M和M'。于是，根据椭圆焦点、准线的定义，FQ/M'Q=FP/MP，即FQ/FP= M'Q/MP。又因为三角形RQM'与三角形RPM相似，所以M'Q/MP = RQ/RP。所以由这两个比式，得出：

FQ/ FP = RQ / RP

（2）如下图所示。以F为圆以，以FQ为半径作圆，与FP交于点S。连接QS。所以FQ=FS。代入上面所得的比例式，得：

FS / FP = RQ / RP

这说明

三角形PQS 与 三角形PRF 相似

所以

QS ∥ RF

从而有

∠1 = ∠3， ∠2 = ∠4

而三角形FQS为等腰三角形（因为FQ=FS），所以

∠3=∠4

所以

∠1=∠2

即FR平分∠QFR'

（三）焦点弦的相关性质（1）

如下图所示。PP'为椭圆的焦点弦（过焦点的弦）。连接PN和P'N。则轴线平分角PNP'。

证明：

如下图所示。如果P与P'两点关于轴是对称的点，那么显然角PNP'被轴线所平分。下面不妨设FP>FP'。在椭圆上找到点P'关于轴线对称的点Q。连接PQ，并延长，与准线相交于点N'。那么，由上一条所讲的性质，FN' 平分∠QFP'。因点Q和P'关于轴线对称，所以，过焦点F且平分角QFP'的直线就是轴线。所以，点N'就是点N。PN'就是PN。再次利用点Q与点P'关于轴线对称这一条件，就得到

∠QNF = ∠P'NF（图中红色角=蓝色角）

Answer 2

1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.

2.椭圆的标准方程

当焦点在x轴上时： + =1(a＞b＞0)

当焦点在y轴上时： + =1(a＞b＞0)

注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2

(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.

(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.

(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.

Answer 3

椭圆的面积公式
　　S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 　　或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
　　椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式. 　　椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如 　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 　　椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则 　　e=PF/PL
椭圆的准线方程
　　x=±a^2/c
椭圆的离心率公式
　　e=c/a(0b>0）的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3. 　　（1）求椭圆C的方程. 　　（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A,B两点,P为椭圆上一点,求△PAB面积的最大值. 　　（3）在（2）的基础上求△AOB的面积. 　　一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a,端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义）,可知a=√3,又c/a=√6/3,代入得c=√2,b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1, 　　二 要求面积,显然以ab作为三角形的底边,联立x^2/3+y^2/1=1,y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大,它到弦的距离应最大,假设已经找到p到弦的距离最大,过p做弦的平行线,可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大,这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=,设y=x+m,利用判别式等于0,求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 　　三 直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的√2/2,面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,