Question

正数a,b满足1/a+9/b=1，若不等式a+b≥-x^2+4x+18-m对任意实数x恒成立。

则实数m的取值范围是

Answer 1

由Cauchy-Schwarz不等式(1/a+9/b)(a+b)≥(1+3)^2，∴a+b≥16，在a=4，b=12时取等。
∴a+b≥-x^2+4x+18-m对x恒成立
→
16≥-x^2+4x+18-m
m≥-x^2+4x+2=-(x-2)^2+6
所以m≥6。
“由Cauchy-Schwarz不等式(1/a+9/b)(a+b)≥(1+3)^2，∴a+b≥16，在a=4，b=12时取等。”此处可以不用柯西不等式。
改为
由1/a+9/b=1
有a+b=(1/a+9/b)(a+b)=10+9a/b+b/a≥10+2根号6=16(在a=4，b=12时取等)

Answer 2

由Cauchy-Schwarz不等式(1/a+9/b)(a+b)≥(1+3)^2，∴a+b≥16，在a=4，b=12时取等。
∴a+b≥-x^2+4x+18-m对x恒成立
→
16≥-x^2+4x+18-m
m≥-x^2+4x+2=-(x-2)^2+6
所以m≥6。
“由Cauchy-Schwarz不等式(1/a+9/b)(a+b)≥(1+3)^2，∴a+b≥16，在a=4，b=12时取等。”此处可以不用柯西不等式。
改为
由1/a+9/b=1
有a+b=(1/a+9/b)(a+b)=10+9a/b+b/a≥10+2根号6=16(在a=4，b=12时取等)