Question

设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______．

试题难度：难度：偏易 试题类型：填空题 试题内容：设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______．

Answer 1

试题答案：因为y=ax与y=logax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x0，y0），由于曲线y=ax在M处的切线斜率为1，
所以ax0=x0，且函数y=ax的导数为y′=f′(x0)=ax0lna=1，
即ax0=x0ax0lna=1，所以ax0=x01lna=x0，
则a1lna=1lna，两边取对数得ln⁡a1ln⁡a=ln⁡1ln⁡a=1，
所以解得e=1lna，所以lna=1e，即a=e1e，此时x0=e．
所以lnlna═ln（1e）=-1．
故答案为：-1．