Question

设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______

设a＞1，则当y=ax与y=logax两个函数图象有且只有一个公共点时，lnlna=______．

Answer 1

因为y=a^x与y=log_ax两个函数互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以要使两个函数图象有且只有一个公共点时，则它们y=x是两个函数的共同的切线．
设两个函数相切时的切点坐标为M（x₀，y₀），由于曲线y=a^x在M处的切线斜率为1，
所以ax0＝x0，且函数y=a^x的导数为y′＝f′(x0)＝ax0lna＝1，
即

ax0＝x0 ax0lna＝1

，所以

ax0＝x0 1 lna ＝x0

，
则a

1

lna

＝

1

lna

，两边取对数得ln?a

1

ln?a

＝ln?

1

ln?a

=1，
所以解得e=

1

lna

，所以lna＝

1

e

，即a＝e

1

e

，此时x₀=e．
所以lnlna═ln（

1

e

）=-1．
故答案为：-1．