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方法如下，
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中智咨询
2024-08-28 广告
第二步用的是分部积分法： ∵原式=2π∫(0,1)pln(1+p²)dp (∫(0,1)表示从0到1积分) =π∫(0,1)ln(1+p²)d(1+p²) 在分部积分公式中，设u=ln(1+p²),d...
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你首先可以先做出这三条线的图形，然后找出它们相交的区域，在图上做出的应该是一个不规则的类似三角行的区域，然后在此可以判断应该先对x,还是y轴进行积分比较简单，对于这道题来说，应该是先对y轴进行积分，然后对x轴进行积分，比较简单，先求出这三条线的交点坐标（1,1），（2,2），（2,1/2），然后其x的积分区间为（1，2），其y轴的积分区间为（1/y，y),所以这个二重积分可以化为二次积分∫（1,2）dx∫(1/x,x)*(y^2/x^2)dy,其中（1,2）和（1/x,x）分别为y,x轴的积分区间，然后经过计算可以最后求得，其结果为27/64, 其中对y积分的部分，先把x看成常量，然后对y进行积分，然后将带有x变量的结果进行x的积分，最后代入x的积分区间（1,2），就可以的出结果了，以上仅个人见解，不一定正确，不过希望可以对楼主有所帮助，呵呵
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这个题有问题的，dx和dy的位置应该是反了
按照正确的题目来解的话，第一层设
y＝tant，于是分母变为sect，注意积分上下限的变化，然后解三角函数积分即可
第二层求解就更容易了，就不多做说明了
按照正确的题目来解的话，第一层设
y＝tant，于是分母变为sect，注意积分上下限的变化，然后解三角函数积分即可
第二层求解就更容易了，就不多做说明了
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对x积分，上限怎么是x的函数呢？dx 与 dy 是否要交换一下？
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原式=∫(0,1)xdx∫(0,√x)ydy/√(1+y²)。
而，∫(0,√x)ydy/√(1+y²)=∫(0,√x)ydy/√(1+y²)=∫(0,√x)d[√(1+y²)]=√(1+x)-1。
∴原式=∫(0,1)x[√(1+x)-1]dx=∫(0,1)x√(1+x)dx-1/2。
令x=tan²α。∫(0,1)x√(1+x)dx=2∫(0,π/4)tan³αsec³αdα=2∫(0,π/4)[sec²α-1)sec²αd(secα)=…=(14√2)/15+4/15。
∴原式=(14√2)/15-7/30。
而，∫(0,√x)ydy/√(1+y²)=∫(0,√x)ydy/√(1+y²)=∫(0,√x)d[√(1+y²)]=√(1+x)-1。
∴原式=∫(0,1)x[√(1+x)-1]dx=∫(0,1)x√(1+x)dx-1/2。
令x=tan²α。∫(0,1)x√(1+x)dx=2∫(0,π/4)tan³αsec³αdα=2∫(0,π/4)[sec²α-1)sec²αd(secα)=…=(14√2)/15+4/15。
∴原式=(14√2)/15-7/30。
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