Question

二重积分是面积还是体积

Answer 1

是体积，但你可以这么想，把那个不规则柱体拍扁形成了一个平面，但上面每个点的权重为f，即等价于面密度不均匀的平面的面积。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。

二重积分本身的几何意义是曲顶柱体的体积(设曲顶柱体的底面是xOy平面上的区域D，每一点处的高是f(x，y)，那么f(x，y)在D上的二重积分就是曲顶柱体的体积)特别地，如果被积函数是f(x，y)=1，那么就变成了求被积区域D的面积正如定积分本身是求曲边梯形的面积，但取被积函数f(x)=1就变成了求被积区间的长度被积区域面积相同并不能保证二重积分相同，正如定积分中被积区间长度相同不能保证定积分相同二重积分是二维空间，若加上被积函数就是三维了。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分，其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。