Question

高三数学选修不等式技巧公式

Answer 1

1．不等式的性质。比较两实数大小的方法—求差比较法
定理1：若，则；若，则．即。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
定理2：若，且，则。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。
定理3：若，则。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
定理4推论：若。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式
定理5．如果 且，那么；如果 且，那么。推论：如果 且，那么。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论2：如果，那么。
定理6：如果，那么。
2．基本不等式
定理1：如果，那么（当且仅当 时取“”）。
说明：（1）指出定理适用范围：；（2）强调取“”的条件。
定理2：如果 是正数，那么（当且仅当 时取“=”）
说明：（1）这个定理适用的范围：；（2）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。
3．常用的证明不等式的方法
（1）比较法
（2）综合法
（3）分析法
1．不等式的解法
（1）同解不等式（(1)与 同解；（2）与 同解，与 同解；（3）与 同解）
2．一元一次不等式
3．一元二次不等式
4．分式不等式
分式不等式的等价变形：>0 f(x)•g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。
高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法：
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
x|(a>0)，
x|>a x2>a2 x>a或x(a>0)。
一般地有：
f(x)|(x)－g(x)(x)(x)，
f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)(x)。
6．指数不等式
7．对数不等式