Question

已知N是一个各个数字不相等的自然数，且N中不含数字7，它能被各个数字整除，求N的最大ŀ

Answer 1

N 最大为 984312。

没有找到快捷的数学推导方法，编程枚举了一下。

枚举过程可以确定结果的正确性。

附：迭代计算的结果和fortran代码

Answer 2

N不能含有0，因为不能被0除。
N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。
如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。
所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。
此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。
前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；
前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；
前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1；
前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；
前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。

Answer 3

要N最大，需N的首位是9，于是9整除N,N的数字和是9的倍数。
N中的数字不能有5，否则N的末位是5，N的数字不能有偶数，又N中不含数字7，故N不多于4位。N中的数字有98163或981432，后者能组成满足题设的最大值是984312，为所求。

Answer 4

N 能被各个位数整除，所以不能出现 0，
如能被 5 整除，则 N 必为奇数，不能被 2、4、6、8 整除，
所以只能出现1、2、3、4、6、8、9 七个数字，
保证 N尽可能大，需要保留数字 9
1+2+3+4+6+8+9 = 33，需要剔除数字 6
最后保留数字1、2、3、4、8、9
组成最大偶数为 984312，符合条件！

Answer 5

N不能含有0，因为任何数不能被0除。
N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。
如果含有5，则位数不超过5。
去掉数字5，剩下1，2，3，4，6，8，9，数字和为33，不能被9整除。
所以至少再去掉一位，即至多是6位数。
为了最大，应该尽可能保留9，此时还需要去掉6，剩下1，2，3，4，8，9。
此数被3，9整除，还需要末3位被8整除。
前3位最大为984，余下1，2，3，能组成的最大的被8整除的数为312
因此满足条件的最大的数为984312。

若放宽条件，允许含有0，则所有数字0，1，2，3，4，5，6，8，9，
和为38，不能被9整除。所以至少再去掉一位，即至多是8位数。
为了尽可能保留9，此时还需要去掉2，剩下0，1，3，4，5，6，8，9。
同时被5和8整除，因此被40整除，即末位为0，且百位和十位合起来能被4整除。
易验证用1，3，4，5无法组成被4整除的两位数
因此百位和十位中至少有1个为6或8
这样前5位至多为98543，剩下016组成的最大的能被40整除的数是160
最终结果为98543160