Question

等腰三角形三线合一是哪三线?

Answer 1

等腰三角形三线合一是顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。三线合一只是针对等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的平分线才具有的性质。其它两个腰上高，中线和两个底角的平分线就不一定具有“三线合一”的性质。

等腰三角形的性质

等腰三角形的两个底角度数相等。顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。两底角的平分线相等。底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，就是顶角平分线所在的直线。但等边三角形有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。等腰三角形的腰与它的高的关系有腰大于高，腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

Answer 2

三线合一
义项名：等腰三角形的特点之一
三线合一，即在等腰三角形（包括等边三角形）中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，就叫三线合一（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
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信息栏（注：未填写内容的信息项将不会显示在词条页上）
中文名
等腰三角形三线合一定理
外文名
Isosceles triangle three lines one theorem
别名
在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
表达式
提出者
提出时间
/
/
适用领域
数学几何
应用学科
数学
等级划分
初中几何
内容
等腰三角形三线合一
前提
三角形是等腰三角形或等边三角形
备注
等边三角形属于等腰三角形
逆命题是否成立
成立
简称
三线合一
增加信息项
正文（注：未填写内容的正文目录将不会显示在词条页上）
证明
已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中：
BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）
AB=AC（等腰三角形的性质）
AD=AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（SSS）
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC （全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
∴AD⊥BC
同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。
得证
应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
逆命题
① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线
（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中线，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC